جلسه 22 1 نامساویهایی در مورد اثر ماتریس ها تي وري اطلاعات کوانتومی ترم پاییز

Σχετικά έγγραφα
جلسه 2 1 فضاي برداري محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار

جلسه 15 1 اثر و اثر جزي ی نظریه ي اطلاعات کوانتومی 1 ترم پاي یز جدایی پذیر باشد یعنی:

جلسه 3 ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک کوانتمی بیان. d 1. i=0. i=0. λ 2 i v i v i.

جلسه 23 1 تابع آنتروپی و خاصیت مقعر بودن نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز

جلسه 9 1 مدل جعبه-سیاه یا جستاري. 2 الگوریتم جستجوي Grover 1.2 مسا له 2.2 مقدمات محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار

جلسه 2 جهت تعریف یک فضاي برداري نیازمند یک میدان 2 هستیم. یک میدان مجموعه اي از اعداد یا اسکالر ها به همراه اعمال

جلسه 14 را نیز تعریف کرد. عملگري که به دنبال آن هستیم باید ماتریس چگالی مربوط به یک توزیع را به ماتریس چگالی مربوط به توزیع حاشیه اي آن ببرد.

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

جلسه 16 نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز

جلسه 12 به صورت دنباله اي از,0 1 نمایش داده شده اند در حین محاسبه ممکن است با خطا مواجه شده و یکی از بیت هاي آن. p 1

هو الحق دانشکده ي مهندسی کامپیوتر جلسه هفتم

مثال( مساله الپالس در ناحیه داده شده را حل کنید. u(x,0)=f(x) f(x) حل: به کمک جداسازی متغیرها: ثابت = k. u(x,y)=x(x)y(y) X"Y=-XY" X" X" kx = 0

جلسه 28. فرض کنید که m نسخه مستقل یک حالت محض دلخواه

جلسه ی ۱۰: الگوریتم مرتب سازی سریع

جلسه ی ۴: تحلیل مجانبی الگوریتم ها

روش محاسبه ی توان منابع جریان و منابع ولتاژ

جلسه دوم سوم چهارم: مقدمه اي بر نظریه میدان

آزمایش 8: تقویت کننده عملیاتی 2

تحلیل الگوریتم پیدا کردن ماکزیمم

تمرینات درس ریاض عموم ٢. r(t) = (a cos t, b sin t), ٠ t ٢π. cos ٢ t sin tdt = ka۴. x = ١ ka ۴. m ٣ = ٢a. κds باشد. حاصل x٢

محاسبات کوانتمی 1 علم ساخت و استفاده از کامپیوتري است که بر پایه ي اصول مکانیک کوانتم قرار گرفته است.

مفاهیم ولتاژ افت ولتاژ و اختالف پتانسیل

تحلیل مدار به روش جریان حلقه

معادلهی مشخصه(کمکی) آن است. در اینجا سه وضعیت متفاوت برای ریشههای معادله مشخصه رخ میدهد:

جلسه ی ۵: حل روابط بازگشتی

سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات

1) { } 6) {, } {{, }} 2) {{ }} 7 ) { } 3) { } { } 8) { } 4) {{, }} 9) { } { }

مدار معادل تونن و نورتن

هندسه تحلیلی بردارها در فضای R

تخمین با معیار مربع خطا: حالت صفر: X: مکان هواپیما بدون مشاهده X را تخمین بزنیم. بهترین تخمین مقداری است که متوسط مربع خطا مینیمم باشد:

باشند و c عددی ثابت باشد آنگاه تابع های زیر نیز در a پیوسته اند. به شرطی که g(a) 0 f g

دانشکده علوم ریاضی دانشگاه گیلان آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 باشد. دهید.f (gx) = (gof 1 )f X شده باشند سوالات بخش میان ترم

Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad. Reference: Chi-Tsong Chen, Linear System Theory and Design, 1999.

CD = AB, BC = ٢DA, BCD = ٣٠ الاضلاع است.

دانشکده ی علوم ریاضی جلسه ی ۵: چند مثال

جلسه ی ۲۴: ماشین تورینگ

قاعده زنجیره ای برای مشتقات جزي ی (حالت اول) :

تصاویر استریوگرافی.

Angle Resolved Photoemission Spectroscopy (ARPES)

تئوری جامع ماشین بخش سوم جهت سادگی بحث یک ماشین سنکرون دو قطبی از نوع قطب برجسته مطالعه میشود.

مینامند یا میگویند α یک صفر تابع

ﯽﺳﻮﻃ ﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﯽﺘﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد

جلسه ی ۳: نزدیک ترین زوج نقاط

دبیرستان غیر دولتی موحد

آزمایش 1: پاسخ فرکانسی تقویتکننده امیتر مشترك

نویسنده: محمدرضا تیموری محمد نصری مدرس: دکتر پرورش خالصۀ موضوع درس سیستم های مینیمم فاز: به نام خدا

آزمون مقایسه میانگین های دو جامعه )نمونه های بزرگ(

فعالیت = ) ( )10 6 ( 8 = )-4( 3 * )-5( 3 = ) ( ) ( )-36( = m n m+ m n. m m m. m n mn

همبستگی و رگرسیون در این مبحث هدف بررسی وجود یک رابطه بین دو یا چند متغیر می باشد لذا هدف اصلی این است که آیا بین

1 دایره فصل او ل کاربردهای بسیاری داشته است. یک قضیۀ بنیادی در هندسه موسوم با محیط ثابت دایره دارای بیشترین مساحت است. این موضوع در طراحی

فصل 5 :اصل گسترش و اعداد فازی

عنوان: رمزگذاري جستجوپذیر متقارن پویا

هدف از انجام این آزمایش بررسی رفتار انواع حالتهاي گذراي مدارهاي مرتبه دومRLC اندازهگيري پارامترهاي مختلف معادله

بسم اهلل الرحمن الرحیم آزمایشگاه فیزیک )2( shimiomd

ثابت. Clausius - Clapeyran 1

شاخصهای پراکندگی دامنهی تغییرات:

هندسه تحلیلی و جبر خطی ( خط و صفحه )

فصل چهارم : مولتی ویبراتورهای ترانزیستوری مقدمه: فیدبک مثبت

فصل پنجم زبان های فارغ از متن

:موس لصف یسدنه یاه لکش رد یلوط طباور

7- روش تقریب میانگین نمونه< سر فصل مطالب

به نام ستاره آفرین قضیه ویریال جنبشی کل ذرات یک سیستم پایدار مقید به نیرو های پایستار را به متوسط انرژی پتانسیل کل شان

خالصه درس: نویسنده:مینا سلیمان گندمی و هاجر کشاورز امید ریاضی شرطی. استقالل متغیر های تصادفی پیوسته x و y استقالل و امید ریاضی

ویرایشسال 95 شیمیمعدنی تقارن رضافالحتی

می باشد. انشاال قسمت شعاعی بماند برای مکانیک کوانتومی 2.

پروژه یازدهم: ماشین هاي بردار پشتیبان

جلسه ی ۱۸: درهم سازی سرتاسری - درخت جست و جوی دودویی

برابری کار نیروی برآیند و تغییرات انرژی جنبشی( را بدست آورید. ماتریس ممان اینرسی s I A

تئوری رفتار مصرف کننده : می گیریم. فرض اول: فرض دوم: فرض سوم: فرض چهارم: برای بیان تئوری رفتار مصرف کننده ابتدا چهار فرض زیر را در نظر

ˆ ˆ ˆ. r A. Axyz ( ) ( Axyz. r r r ( )

تلفات خط انتقال ابررسی یک شبکة قدرت با 2 به شبکة شکل زیر توجه کنید. ژنراتور فرضیات شبکه: میباشد. تلفات خط انتقال با مربع توان انتقالی متناسب

فهرست مطالب جزوه ی فصل اول مدارهای الکتریکی مفاهیم ولتاژ افت ولتاژ و اختالف پتانسیل تحلیل مدار به روش جریان حلقه... 22

فصل سوم جریان های الکتریکی و مدارهای جریان مستقیم جریان الکتریکی

فهرست جزوه ی فصل دوم مدارهای الکتریکی ( بردارها(

آموزش SPSS مقدماتی و پیشرفته مدیریت آمار و فناوری اطالعات -

آشنایی با پدیده ماره (moiré)

مود لصف یسدنه یاه لیدبت

به نام حضرت دوست. Downloaded from: درسنامه

Delaunay Triangulations محیا بهلولی پاییز 93

2/13/2015 حمیدرضا پوررضا H.R. POURREZA 2 آخرین گام در ساخت یک سیستم ارزیابی آن است

ک ت اب درس ی ن ظ ری ه گ راف ب الاک ری ش ن ان و ران گ ان ات ه ان (ح ل ت ع دادي از ت م ری ن ه اي ف ص ل ه اي 4 و 5) دک ت ر ب ی ژن ط اي ري

ﻴﻓ ﯽﺗﺎﻘﻴﻘﺤﺗ و ﯽهﺎﮕﺸﻳﺎﻣزﺁ تاﺰﻴﻬﺠﺗ ﻩﺪﻨﻨﮐ

هدف از این آزمایش آشنایی با رفتار فرکانسی مدارهاي مرتبه اول نحوه تأثیر مقادیر عناصر در این رفتار مشاهده پاسخ دامنه

عنوان مقاله "نقاط تنها تنها مانده اند"

نحوه سیم بندي استاتورآلترناتور

جلسه ی ۱۱: درخت دودویی هرم

مجموعه های اندازه پذیر به مثابە نقاط حدی

)مطالعه موردی بازار بورس تهران(

فیلتر کالمن Kalman Filter

فصل دهم: همبستگی و رگرسیون

10 ﻞﺼﻓ ﺶﺧﺮﭼ : ﺪﻴﻧاﻮﺘﺑ ﺪﻳﺎﺑ ﻞﺼﻓ ﻦﻳا يا ﻪﻌﻟﺎﻄﻣ زا ﺪﻌﺑ

اتصال گیردار به ستون 1-5 مقدمه 2-5- نمونه محاسبات اتصال گیردار جوشی با ورق روسري و زیر سري WPF) ( مشخصات اولیه مقاطع

هد ف های هفته ششم: 1- اجسام متحرک و ساکن را از هم تشخیص دهد. 2- اندازه مسافت و جا به جایی اجسام متحرک را محاسبه و آن ها را مقایسه کند 3- تندی متوسط

بردارها در فضاي سه بعدي و هندسه تحلیلی فضایی 1 3 بردارها در فضاي سه بعدي دستگاه مختصات استوانه اي توابع چند متغیره 26

تعیین محل قرار گیری رله ها در شبکه های سلولی چندگانه تقسیم کد

زمین شناسی ساختاری.فصل پنجم.محاسبه ضخامت و عمق الیه


فصل صفر یادآوری مفاهیم پایه

مسائل. 2 = (20)2 (1.96) 2 (5) 2 = 61.5 بنابراین اندازه ی نمونه الزم باید حداقل 62=n باشد.

به نام خدا. الف( توضیح دهید چرا از این تکنیک استفاده میشود چرا تحلیل را روی کل سیگنال x[n] انجام نمیدهیم

Transcript:

تي وري اطلاعات کوانتومی ترم پاییز 1391-1392 مدرس: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري نویسنده: محمد مهدي مجاهدیان جلسه 22 تا اینجا خواص مربوط به آنتروپی را بیان کردیم. جهت اثبات این خواص نیاز به ابزارهایی داریم که در اینجا بیان می کنیم. در این جلسه از + R براي اشاره به اعداد حقیقی نامنفی (شامل صفر) استفاده می کنیم. یادآوري می کنیم که براي هر ماتریس هرمیتی A و تابع دلخواه f : R R عملگر f(a) این گونه تعریف می شود: اگر A = λ v v قطري شدن A در یک پایه متعامد یکه باشد آنگاه قرار می دهیم f(a) = f(λ ) v v. همچنین نامساوي جنسن 1 را نیز یادآوري می کنیم: n باشد داریم: نامساوي جنسن: اگر f : R R تابعی محدب و 0 =1 p = 1 p ( n n ) p f(x ) f p x. =1 =1 1 نامساویهایی در مورد اثر ماتریس ها قضیه 1 نامساوي کلین : 2 اگر f : R R تابعی محدب باشد و A و B عملگرهاي هرمیتی باشند داریم: tr[f(a) f(b)] tr[(a B)f (B)] (1) بعلاوه اگر f اکیدا محدب باشد تساوي تنها زمانی برقرار است که A = B باشد. اثبات: ابتدا حالت خاصی که ماتریس هاي A و B یک بعدي (یعنی یک عدد باشند) را در نظر بگیرید. آنوقت رابطه بالا را می توان به شکل زیر نوشت: اما با استفاده از قضیه مقدار میانگین داریم: 1 Jensen nequalty 2 Klen nequalty f(a) f(b) (a b)f (b). f(a) f(b) (a b) f (η), η [a, b] (2) 1

(a b) f (η) (a b)f (b). پس باید ثابت کنیم که دو حالت در نظر می گیریم: a b و a. < b در حالت اول باید نشان دهیم (b) f (η) f که بدلیل اینکه (t) f تابعی صعودي است برقرار می باشد. اثبات حالت دوم مشابه است. حال حالت ماتریسی نامساوي را در نظر می گیریم. فرض کنید A = B = j λ v v γ j ω j ω j در این صورت f(a) = f(b) = j f (B) = j Bf (B) = j f(λ ) v v, f(γ j ) ω j ω j, f (γ j ) ω j ω j, γ j f (γ j ) ω j ω j. در نتیجه tr[f(a) f(b)] = tr[f(a)] tr[f(b)] = f(λ ) j f(γ j ) و همچنین داریم: tr[(a B)f (B)] = tr[af (B)] tr[bf (B)] = tr[af (B)] j γ j f (γ j ). جهت محاسبه [(B) tr[af داریم: 2

tr[af (B)] = tr [( λ v v )( f (γ j ) ω j ω j )] = tr [ λ f (γ j ) v v ω j ω j ] =,j,j λ f (γ j )tr [ v v ω j ω j ] j =,j =,j λ f (γ j )tr [ v ω j ω j v ] λ f (γ j ) v ω j 2 اما توجه کنید که از متعامد یکه بودن پایه هاي { v } و { j ω } نتیجه می شود: 3 v ω j 2 = 1, j; v ω j 2 = 1,. j بنابراین tr[f(a) f(b)] = [f(λ ) f(γ j )] =,j [f(λ ) v ω j 2 f(γ j ) v ω j 2 ] =,j v ω j 2 [f(λ ) f(γ j )]. به طور مشابه tr[bf (B)] = =,j γ j f (γ j ). γ j f (γ j ) v ω j 2. v ω j 2 [f(λ ) f(γ j )],j,j v ω j 2 [λ f (γ j ) γ j f (γ j )] بنابراین کافی است ثابت کنیم v ω j 2 = 3 این رابطه درست است زیرا v ω j ω j v = tr[ v ω j ω j v ] = tr[ v v ω j ω j ] = tr( [ v v ] ω j ω j ) = tr(i ω j ω j ) = 1. 3

,j ] v ω j [f(λ 2 ) f(γ j ) (λ γ j )f (γ j ) 0 یا به عبارت دیگر که نامساوي اي درست است زیرا عبارت داخل پرانتز نامنفی است (این همان حالت اسکالر نامساوي است). قضیه 2 نامساوي پیرل : 4 اگر f تابعی محدب باشد و A عملگر هرمیتی باشد داریم: براي هر بردار e به طول واحد e f(a) e f( e A e ). (3) tr[f(a)] براي هر پایه متعامد یکه { e } n f( e A e ). (4) =1 اثبات: کافی است که قسمت اول قضیه را ثابت کنیم زیرا قسمت اول قسمت دوم را نتیجه می دهد: n n tr[f(a)] = e f(a) e f( e A e ). =1 =1 براي اثبات قسمت اول با توجه به هرمیتی بودن A داریم: A = λ v v f(a) = f(λ ) v v. در نتیجه e f(a) e = e f(λ ) v v e = = f(λ ) e v v e f(λ ) e v 2. از طرفی با استدلال مشابهی که در زیرنویس 3 داشتیم داریم: = 1 2 e v. حال با استفاده از نامساوي جنسن: f(λ ) e v 2 f( λ e v 2 ) =f( λ e v v e ) =f( e [ λ v v ] e ) =f( e A e ). 4 Peerl nequalty 4

2 نامساوي هاي عملگري در اینجا به معرفی توابع عملگر صعودي 5 و توابع عملگر محدب 6 می پردازیم. تعریف 3 تابع f : R + R را عملگر صعودي گویند هرگاه براي هر دو عملگر مثبت نیمه معین A و B رابطه زیر برقرار باشد: A B f(a) f(b). در رابطه بالا A B بدین معنی است که عملگر B A مثبت نیمه معین است. توجه کنید که دامنه تابع f اعداد حقیقی نامنفی است و آن را روي ماتریس هاي مثبت نیمه معین B A اعمال کرده ایم. تعریف 4 تابع f : R + R را عملگر محدب گویند هرگاه براي هر دو عملگر A و B رابطه زیر برقرار باشد: f(pa + (1 p)b) pf(a) + (1 p)f(b), p [0, 1], و تابع f را عملگر مقعر گویند هرگاه تابع f عملگر محدب باشد. توجه: دقت کنید که توابع عملگر صعودي همواره یکنوا هستند اما برعکس آن لزوما برقرار نیست. بدین معنی که ممکن است تابعی یکنوا باشد اما عملگر صعودي نباشد. یکی از این توابع تابع f(t) = t 2 است. همچنین تابع f(t) = e t که هم یکنوا است و هم محدب اما نه عملگر صعودي است نه عملگر محدب. خواص توابع عملگر صعودي: 1. اگر f(t) عملگر صعودي باشد آنگاه براي 0 c h(t) = f(t) + c نیز عملگر صعودي است. این خاصیت برقرار است زیرا h(a) = f(a) + ci, h(b) = f(b) + ci که I عملگر همانی است. A B f(a) f(b) f(a) + ci f(b) + ci h(a) h(b) 2. اگر f(t) عملگر صعودي باشد آنگاه براي 0 c h(t) = f(t) + ct نیز عملگر صعودي است. این خاصیت برقرار است زیرا. h(a) = f(a) + ca, h(b) = f(b) + cb.3 اگر g(t) f(t), توابعی عملگر صعودي باشد و 0 β α, آنگاه βg(t) h(t) = αf(t) + نیز عملگر صعودي است. این خاصیت نتیجه می دهد که مجموعه توابع عملگر صعودي یک مخروط 7 در فضاي توابع تشکیل می دهد. mt 1 f(t) = براي هر 0 m نیز عملگر صعودي است. در نتیجه با استفاده از خاصیت m+t می توان نشان داد که تابع آخر می توان ترکیب خطی توابع بالا به ازاي m -هاي مختلف را هم در نظر گرفت. نکته ي جالب اینکه هر تابع عملگر صعودي حتما قابل بیان به صورت ترکیب خطی توابع بالا و توابع ثابت و خطی است. البته چون تعداد این توابع بینهایت است بجاي ترکیب خطی از انتگرال وزن دار در محاسبه ترکیب خطی استفاده می شود. 5 Operator monotone 6 Operator convex 7 Cone 5

عملگر صعودي عملگر محدب a + bt, a R, b 0 a + bt + ct 2, a, b R, c 0 t p, p [0, 1] t p, p [1, 2] t p, p [ 1, 0] t p, p [ 1, 0] log t log t t log t t log t t 1 t t+m, m 0 t 2 t+m, m, tan t, t ( π 2, π 2 ) عملگر صعودي f : R+ R + 1 اگر f(t) جدول 1: تعدادي از توابع عملگر صعودي و عملگر محدب قضیه 5 (قضیه لونر) 8 تابع f : R + R عملگر صعودي است اگر و تنها اگر وجود داشته باشند تابع نامنفی µ(m) mt 1 f(t) = c + dt + 0 m + t µ(m)dm. و اعداد 0 d و c R به طوري که مشابها قضیه زیر را در مورد توابع عملگر محدب داریم: قضیه 6 تابع f : R + R عملگر محدب است اگر و تنها اگر وجود داشته باشند تابع نامنفی µ(m) و اعداد 0 e و f(t) = c + dt + et 2 mt 2 + 0 m + t µ(m)dm. c, d R به طوري که از روي ف رم انتگرالی توابع عملگر صعودي و عملگر محدب به نظر می رسد رابطه اي بین این دو نوع تابع وجود دارد. قضیه 7 در صورتی که برد تابع f اعداد حقیقی نامنفی باشد ) + R f) : R + تابع f عملگر مقعر است اگر و تنها اگر عملگر صعودي باشد. یعنی مجموعه توابع عملگر مقعر و صعودي با برد اعداد حقیقی نامنفی یکسان هستند. بصورت خاص تابع ln(t) f(t) = و ln(t) f(t) = t توابعی عملگر محدب هستند که این تابع آخر در نظریه اطلاعات کوانتمی کاربرد زیادي دارد. در جدول 1 تعدادي از توابع عملگر صعودي و عملگر محدب لیست شده اند. 8 Löwner s theorem 6